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【数学クイズ・解答編】数学オリンピックの誕生日問題の答え


 こちらは解答編。このページにも問題を載せますが、答えが見えちゃうおそれがありますので、【数学クイズ】数学オリンピックの誕生日問題を解いてみよう!の方に避難してじっくり考えてみてください。


【数学クイズ】

アルバートとバーナードはシェリルと友達になりました。アルバートとバーナードはシェリルの誕生日を知りたくなったのですが、シェリルが教えてくれたのは以下の10個の日付だけで、このうちどれか1つが実際の誕生日となっています。

5月15日 5月16日 5月19日
6月17日 6月18日
7月14日 7月16日
8月14日 8月15日 8月17日

また、シェリルはアルバートに誕生日の月だけを教え、バーナードには誕生日の日にちだけを教えました。その後、アルバートとバーナードは以下の流れで会話しています。

アルバート:僕にはシェリルの誕生日が分からないし、バーナードにもシェリルの誕生日が分からない。
バーナード:初めはシェリルの誕生日が分からなかったけど、今は分かるよ。
アルバート:バーナードが分かったのなら、僕にも分かった。

世界で数学のレベルが上位常連であるシンガポールの数学は解けますか? - GIGAZINE(2015年04月14日 21時04分49秒)より


●シンガポールの小学生向けの問題?

 この問題は"シンガポールのTV局に勤めるKenneth KongさんのFacebookに「P5(小学5年生向け)の問題」というコメントと共に投稿された1枚の画像"をきっかけに流行りました。

 ただ、"シンガポールにあるSASMOが運営している数学オリンピックで出題された中学2年生から中学3年生向けの問題"とわかっています。小学生向けではないかもしれません。


●数学オリンピックの誕生日問題の答え

 では、解答です。これもGIGAZINEを丸写しすれば楽なのですが、私なりに解説していきます。

 なお、私は和訳が悪いとされる別サイトでやりました。ただ、訳の悪さ以前に面倒くさがって会話部分を写さずに、日付だけ紙にメモしてから解いたら、全然違う解釈してしまって間違えてしまいました。

 何かすっごい悔しかったんで、紹介しないかなと思いましたが、まあ、こうして紹介しています。本当悔しいわぁ…。


 はい、では、本題。GIGAZINEでも別サイトでもやっていなかったんですが、私は表形式にすることをオススメします。

5月15日 5月16日 5月19日
6月17日 6月18日
7月14日 7月16日
8月14日 8月15日 8月17日

 上記を表形式にすると以下のようになります。
月日 14日 15日 16日 17日 18日 19日
5月      
6月        
7月        
8月      

 上記を見てわかるように、18日と19日は1回しか登場していません。そのため、シェリルの誕生日が5月18日か6月19日なら、日にちだけ知っているバーナードは、それだけで誕生日を特定することが可能です。

 ところが、月だけ知っているアルバートは、以下のように言っていました。

アルバート:僕にはシェリルの誕生日が分からないし、バーナードにもシェリルの誕生日が分からない。

 アルバートは月だけしか知らないのに、「バーナードにもシェリルの誕生日が分からない」と断言することができました。つまり、日にちだけ知っているバーナードが特定可能な5月でも6月でもない月を、アルバートは知らされたようです。

 この時点では以下のように、5月と6月を消すことができます。
月日 14日 15日 16日 17日
7月    
8月  

 次のセリフは、日にちだけ知っているバーナードです。

バーナード:初めはシェリルの誕生日が分からなかったけど、今は分かるよ。

 表を見てわかるように、14日だけは7月と8月の両方に登場しています。もし仮に日にちだけ知っているバーナードが、14日だと教えてもらっていた場合、この時点で特定することは不可能です。

 そのため、14日以外の3つのうちのどれかがシェリルの誕生日だとわかります。
月日 15日 16日 17日
7月    
8月  

 最後は再び月だけ知っているアルバートの番です。

アルバート:バーナードが分かったのなら、僕にも分かった。

 アルバートは知っている月が8月だった場合、候補は15日と17日の2つあります。この時点では特定できません。

 しかし、アルバートは今ある情報だけでわかったと言っているわけですから、7月と教わっていたと考えられます。

 したがって、7月16日がシェリルの誕生日というわけです。


 こうやって順を追って説明されると、意外に簡単です。よくできたおもしろい問題だとも思います…思いますが、前述のように私は間違えてしまいました。本当悔しいです。


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